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对于一个数字序列,请设计一个复杂度为O(nlogn)的算法,返回该序列的最长上升子序列的长度,这里的子序列定义为这样一个序列U1,U2...,其中Ui < Ui+1,且A[Ui] < A[Ui+1]。
给定一个数字序列A及序列的长度n,请返回最长上升子序列的长度。
[2,1,4,3,1,5,6],7
返回:4
最长递增子序列,Longest Increasing Subsequence 下面我们简记为 LIS
方法一:
首先想到的而是动态规划,时间复杂度为O(n^2)
dp[i]表示以数组中第i个元素为结尾时,递增子序列的长度。
public class AscentSequence { public int findLongest(int[] arr, int n) { int[] dp = new int[n]; dp[0] = 1; int maxLen = 1; for (int i = 1; i < n; i++) { dp[i] = 1;//每次循环,当前前i个数的递增子序列个数初始值为1 for (int j = 0; j < i; j++) { if (arr[j] < arr[i] && dp[i] < dp[j]+1) { dp[i] = dp[j]+1; maxLen = Math.max(maxLen, dp[i]); } } } return maxLen; }方法二:
改进算法,时间复杂度为O(nlogn).
假设存在一个序列d[1..9] = 2 1 5 3 6 4 8 9 7,可以看出来它的LIS长度为5。 下面一步一步试着找出它。 我们定义一个序列B,然后令 i = 1 to 9 逐个考察这个序列。 此外,我们用一个变量Len来记录现在最长算到多少了 首先,把d[1]有序地放到B里,令B[1] = 2,就是说当只有1一个数字2的时候,长度为1的LIS的最小末尾是2。这时Len=1 然后,把d[2]有序地放到B里,令B[1] = 1,就是说长度为1的LIS的最小末尾是1,d[1]=2已经没用了,很容易理解吧。这时Len=1 接着,d[3] = 5,d[3]>B[1],所以令B[1+1]=B[2]=d[3]=5,就是说长度为2的LIS的最小末尾是5,很容易理解吧。这时候B[1..2] = 1, 5,Len=2 再来,d[4] = 3,它正好加在1,5之间,放在1的位置显然不合适,因为1小于3,长度为1的LIS最小末尾应该是1,这样很容易推知,长度为2的LIS最小末尾是3,于是可以把5淘汰掉,这时候B[1..2] = 1, 3,Len = 2 继续,d[5] = 6,它在3后面,因为B[2] = 3, 而6在3后面,于是很容易可以推知B[3] = 6, 这时B[1..3] = 1, 3, 6,还是很容易理解吧? Len = 3 了噢。 第6个, d[6] = 4,你看它在3和6之间,于是我们就可以把6替换掉,得到B[3] = 4。B[1..3] = 1, 3, 4, Len继续等于3 第7个, d[7] = 8,它很大,比4大,嗯。于是B[4] = 8。Len变成4了 第8个, d[8] = 9,得到B[5] = 9,嗯。Len继续增大,到5了。 最后一个, d[9] = 7,它在B[3] = 4和B[4] = 8之间,所以我们知道,最新的B[4] =7,B[1..5] = 1, 3, 4, 7, 9,Len = 5。 于是我们知道了LIS的长度为5。 注意!!!!!
这个1,3,4,7,9不是LIS,它只是存储的对应长度LIS的最小末尾。有了这个末尾,我们就可以一个一个地插入数据。虽然最后一个d[9] = 7更新进去对于这组数据没有什么意义,但是如果后面再出现两个数字 8 和 9,那么就可以把8更新到d[5], 9更新到d[6],得出LIS的长度为6。 然后应该发现一件事情了:在B中插入数据是有序的,而且是进行替换而不需要挪动——也就是说,我们可以使用二分查找,将每一个数字的插入时间优化到O(logN)~~~~~于是算法的时间复杂度就降低到了O(NlogN)~!
package test;import java.util.Scanner;/** * @author xiaohao * @date 创建时间:Aug 15, 2017 5:05:00 PM * @version 1.0 */public class LongestAscentSequence { public static void main(String[] args) { // TODO Auto-generated method stub Scanner sc = new Scanner(System.in); int n= sc.nextInt(); int arr[]= new int[n]; for(int i=0;i
参考
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